Um passeio pelo mundo de geometria hiperbólica

Aula 5

Na aula anterior…

…falamos sobre:

• Colagens topológicas e geométricas;
• Superfícies hiperbólicas – localmente modeladas por $\HH^2$;

• Calças e hexágonos hiperbólicos com ângulos retos;
• As estruturas hiperbólicas nas superfícies;
• O espaço de Teichmüller e as coordenadas de Fenchel–Nielsen.

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Espaço hiperbólico tridimensional

O 3-espaço hiperbólico $\HH^3$ pode ser construído como o semiespaço superior, \[ \HH^3 = \{(x,y,t)\in\RR^3 : t > 0\},\quad \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle^{\HH^3}_{(x,\,y,\,t)} = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle}{t^2}. \]

Em particular, cada semiplano vertical da forma \[ \{(x,y,t)\in\RR^3 : t > 0\ \text{e}\ Ax+By=C\} \] é isométrico ao plano hiperbólico $\HH^2$.

Dicionário hiperbólico

Semiespaço superior

O modelo $\HH^3$ é conforme: os ângulos euclidianos e hiperbólicos são iguais.

Bola de Poincaré

A bola de Poincaré é um modelo alternativo de geometria hiperbólica tridimensional, análogo ao disco de Poincaré.

• Como conjunto, $\DD^3 = \{\mathbf{x}\in\RR^3 : \|\mathbf{x}\| \lt 1\}$.
• Métrica hiperbólica na bola de Poincaré: \[ \langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle^{\DD^3}_{\mathbf{x}} = \frac{4\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle}{\bigl(1-\|\mathbf{x}\|^2\bigr)^2}, \]
• Retas hiperbólicas correspondem a arcos de círculos perpendiculares à esfera unitária e diâmetros da bola.
• Planos hiperbólicos são calotas de esferas perpendiculares à esfera unitária e discos centrados na origem.

Tetraedros ideais

• Analogamente aos triângulos ideais em $\HH^2$, podemos considerar tetraedros ideais em $\HH^3$.
• Um tetraedro ideal é uma região em $\HH^3$ limitada por quatro triângulos ideais.
  

Tetraedros ideais

Imagem de um tetraedro ideal na bola de Poincaré ⏯

Propriedades de $\HH^3$

• O espaço $\HH^3$ contém muitas cópias isométricas de $\HH^2$ como “planos hiperbólicos”.
• Por isso, todas as propriedades de $\HH^2$ valem nos planos em $\HH^3$.
• $\HH^3$ é homogêneo e isotrópico: a geometria local é a mesma em todos os pontos e em todas as direções.
• O grupo de isometrias que preservam a orientação de $\HH^3$ é isomorfo ao grupo de transformações de Möbius complexas: \[ \mathrm{Isom}^+(\HH^3) \cong \text{Möb}(\CC) = \left\{ z\mapsto\frac{az+b}{cz+d} : a,b,c,d\in\CC, ad-bc=1 \right\}. \]
• É possível definir espaços hiperbólicos $\HH^n$ de qualquer dimensão $n$.

3-variedades hiperbólicas

Na aula anterior, falamos sobre superfícies hiperbólicas: espaços bidimensionais com geometria localmente modelada pelo plano hiperbólico $\HH^2$.

Vamos agora repetir alguns aspectos desta construção em dimensão três.

Construções de 3-variedades

• Uma das 3-variedades mais simples é a 3-esfera $S^3$ definida como \[ S^3 = \{(x_1, x_2, x_3, x_4)\in\RR^4 : x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1\}. \]

• Muitos mais exemplos de 3-variedades podem ser obtidos por colagem de poliedros.
• O poliedro mais básico é um tetraedro: cada outro poliedro pode ser decomposto em uma união de tetraedros.
• Portanto, basta considerar colagens de (vários) tetraedros – triangulações tridimensionais.

Complementos de nós

• Um nó é uma curva fechada suavemente mergulhada em $\RR^3$ ou $S^3$, sem auto-interseções.
• Para um nó $N\subset S^3$, o complemento de $N$ é a 3-variedade definida simplesmente como $S^3\setminus N$.
• Os complementos de nós formam uma classe infinita de 3-variedades.
• As propriedades topológicas de $S^3\setminus N$ contém muita (mas às vezes não toda) informação sobre o nó $N$.
• Propriedades geométricas?

O nó figura oito

Vamos agora analisar o complemento do nó figura oito.
A ideia geral é juntar dois poliedros: um “em cima” e um “em baixo”.
Depois, vamos eliminar o nó “o empurrando para o infinito”.

$S^3\setminus N$ como colagem de poliedros

Os dois poliedros são colados ao longo da esfera que contém a maioria do diagrama do nó, exceto os cruzamentos.

Faces dos dois poliedros

Modelo de cruzamento

A linha azul representa um pedaço do nó que passa em cima do pedaço vermelho.

A seta vertical verde junta as duas porções do nó que formam o cruzamento. Excluindo os fins, ela é um subconjunto de $S^3\setminus N$.

Estrutura local combinatória

Esticando e achatando o modelo de papel, podemos observar como as regiões complementares do diagrama se juntam ao redor do cruzamento.

A seta vertical verde separa-se em quatro setas que devem ser coladas (identificadas) para que o cruzamento seja re-estabelecido.

Achatando o nó figura oito

N.B.: A região “externa” $A$ é também um polígono, porque a imagem à direita mostra um pedaço da esfera.

Eliminação dos bígonos

Contraindo o nó, podemos remover os bígonos $E$, $F$, notando que isso reduz as setas a dois tipos.

Contração do nó a um único ponto

Após contração de todos os arcos pretos, as faces dos dois sólidos tornam-se em quatro triângulos ideais $A, B, C, D$.

Os sólidos são tetraedros ideais!

Complemento do nó figura oito

A nossa análise diagramática mostra que o complemento do nó figura oito é o resultado de colagem de dois tetraedros ideais ao longo das suas faces.

Ao redor de cada aresta, juntam-se seis arestas dos tetraedros ideais.

Hiperbolização do complemento do nó figura oito

• Todos os triângulos ideais são congruentes, então sempre é possível colar tetraedos ideais ao longo das faces.
• No espaço hiperbólico $\HH^3$, podemos encontrar um tetraedro ideal no qual todos os ângulos diedrais são iguais a $\frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
• Colando dois tais tetraedros conforme o padrão apresentado, obtemos geometria hiperbólica no complemento do nó figura oito.

Nós hiperbólicos

W. Thurston (1946–2012)

• Muitos outros nós têm complementos com geometria hiperbólica.
• O estudo de geometrias hiperbólicas em 3-variedades começou a serio com o trabalho de W. Thurston.

Exemplo: o nó $9_{23}$ do ICMC

Colando as faces de cores correspondentes no poliedro ideal hiperbólico à direita, obtemos uma estrutura hiperbólica no complemento do nó $9_{23}$.

Obrigado por sua atenção!