Um passeio pelo mundo de geometria hiperbólica

Aula 4

Rafael Siejakowski
Programa de Verão 2022
ICMC, USP São Carlos
5–14 de janeiro de 2022

Na aula anterior…

…falamos sobre:

Triângulos ideais em $\HH^2$;
Sequências de Farey e suas propriedades;
Tesselação de Farey e círculos de Ford;
Modelo de disco de Poincaré.

https://rs-math.net/verao2022

Superfícies

No passado distante, pensava-se que a superfície da Terra é um plano.
Porém, ela parece como um plano apenas localmente.
Globalmente, uma esfera topológica (como a superfície da Terra) é um “espaço bidimensional” que se “fecha sobre si mesmo”.

Intuitivamente, bidimensionalidade significa que precisamos de duas coordenadas reais (latitude e longitude) para descrever posições de pontos.
Uma esfera “fecha sobre si mesmo” porque não é possivel “cair pra fora do mundo” viajando nela.

Superfícies – definição

Definição

Uma superfície ou uma variedade bidimensional fechada e conexa é um espaço topológico conexo no qual cada ponto tem uma vizinhança homeomorfa a um disco aberto em $\RR^2$.

Classificação topológica de superfícies

Teorema

Cada superfície orientável é homeomorfa a exatamente uma superfície na lista: \[ \Sigma_0, \Sigma_1, \dotsc, \Sigma_g, \dotsc \] A superfície $\Sigma_g$ é chamada a superfície de gênero $g$.

Colagens

Superfícies podem ser construídas por colagem de pedaços de $\RR^2$.

Por exemplo, o toro $\Sigma_1$ pode ser feito de um retângulo:

Para introduzir geometria numa superfície, vamos “transportar” a geometria de pedaços de $\RR^2$ para a superfície, esperando que a geometria resultante seja “razoável”.

Colagens geométricas

Seja $S$ uma superfície topológica formada por colagem de uma coleção de polígonos topológicos $P_1, P_2, \dotsc, P_n$.

Questão

Quais condições sobre a geometria (homogênea, isotrópica) dos polígonos $P_j$ nos permitem definir uma geometria em $S$?

Condições suficientes

Uma colagem equipa $S$ com uma geometria desde que:

Os lados dos polígono $P_j$ juntados pela colagem são segmentos retos (geodésicos) do mesmo comprimento.
Equações de colagem: A soma de ângulos nos vértices juntados pela colagem é sempre igual $2\pi$.

Exemplo: o toro geométrico

Superfícies de gênero superior

Desafio

Parametrize todas as possíveis geometrias numa superfície $\Sigma_g$ (onde $g\gt 1$) a menos de uma equivalência “razoável”.

N.B.: Não temos aqui as ferramentas matemáticas para fazer isso rigorosamente, mas vamos descrever as noções e ideias gerais desta teoria, deixando demonstrações para cursos mais sérios o/ou literatura.

Calças

Definição

Uma calça é um espaço topológico homeomorfo a um disco fechado com dois pequenos discos abertos removidos.

Decomposição em calças

Teorema

Uma superfície $\Sigma_g$ pode ser obtida por colagem de $2g-2$ calças, ao longo dos círculos que formam os seus bordos, para cada $g \gt 1$.

Demonstração:

Geometria de calças

Uma calça pode ser cortada em dois hexágonos:

Todos os ângulos nestes hexágonos devem ser iguais a $\frac{\pi}{2}$.
Isso não é possível em geometria euclidana, mas é possível em $\HH^2$.

Hexágonos com ângulos retos

(modelo de disco de Poincaré $\mathbb{D}^2$)

Calças hiperbólicas

Teorema

O conjunto de todas as classes de congruência de hexágonos hiperbólicos com ângulos retos é parametrizado bijetivamente por $\RR^3$: $(x,y,z)\mapsto(a = e^x, b = e^y, c = e^z)$ onde $a, b, c$ são os comprimentos de três lados disjuntos dum hexágono.

Como consequência deste teorema,

Calças são objetos hiperbólicos.
As possíveis geometrias (hiperbólicas) duma calça são parametrizadas bijetivamente por $\RR^3$.

Superfícies hiperbólicas

Uma superfície hiperbólica é “localmente modelada” por $\HH^2$ – cada ponto da superfície tem uma vizinhança parametrizada por um subconjunto aberto de $\HH^2$. Além disso, essas parametrizações são únicas a menos de isometrias.

Definição

Seja $S$ uma superfície topológica fechada e orientável. $S$ é uma superfície hiperbólica se cada ponto $p\in S$ tem uma vizinhança aberta $U\subset S$ equipada com um homeomorfismo $\psi : U\to V$, onde $V$ é um subconjunto aberto de $\HH^2$. Além disso, se $U_1, U_2 \subset S$ são duas tais vizinhanças de $p$, com $\psi_1:U_1\to V_1$ e $\psi_2:U_2\to V_2$, então existe uma isometria hiperbólica $F$ que preserva a orientação de $\HH^2$ e satisfaz $ (\psi_2^{-1}\circ F\circ\psi_1)|_{U_1\cap U_2} = \mathrm{Id}_{U_1\cap U_2}$.

Ilustração da definição

Hiperbolização de superfícies

Utilizando as calças hiperbólicas, podemos tornar uma superfície $\Sigma_g$, $g\gt1$ em uma superfície hiperbólica.
Os interiores dos hexágonos são conjuntos abertos em $\HH^2$ que parametrizam quase todos os pontos da calça.
Outros pontos também têm tais parametrizações, dado que as condições de colagem geométrica sejam satisfeitas.

Espaço de estruturas hiperbólicas

Questão

Quais são todas as possíveis estruturas de superfície hiperbólica numa superfície topológica $\Sigma_g$ onde $g\gt1$?

Para podermos responder a essa pergunta, precisamos de introduzir uma noção de “equivalência” entre duas estruturas hiperbólicas numa superfície.

Para este fim, vamos introduzir o espaço de Teichmüller que parametriza sobrejetivamente as estruturas hiperbólicas numa superfície.

Espaço de Teichmüller

Definição

Seja $g\gt1$. O espaço de Teichmüller $\mathcal{T}_g$ é formado por todos os pares $(S, f)$ onde $S$ é uma superfície hiperbólica e $f:\Sigma_g \to S$ é um homeomorfismo que preserva orientação, sujeitos à seguinte relação de equivalência.

Dois pares $(S_1, f_1)$ e $(S_2, f_2)$ determinam o mesmo ponto de $\mathcal{T}_g$ se existe uma isometria $F: S_1\to S_2$ tal que a composição $f_2^{-1}\circ F\circ f_1$ é um homeomorfismo $\Sigma_g \to \Sigma_g$ isotópico a identidade.

Um homeomorfismo $h : \Sigma_g \to \Sigma_g$ é isotópico a identidade se existe uma família de homeomorfismos $H_t$, $t\in[0,1]$ tal que $H_0=\mathrm{Id}$, $H_1 = h$ e, além disso, a transformação \[ [0,1]\times \Sigma_g \to \Sigma_g,\qquad (t, p) \mapsto H_t(p) \] é contínua.

Espaço de Teichmüller

Descrição explícita

Teorema fundamental da teoria de Teichmüller

Para cada $g\gt1$, o espaço de Teichmüller $\mathcal{T}_g$ é homeomorfo a $\RR^{6g-6}$.

Em particular, esse teorema implica que cada superfície de gênero $g$ tem uma família de métricas hiperbólicas parametrizada por $6g-6$ parêmetros reais (ou $3g-3$ parâmetros complexos).

Vamos agora ver uma das possíveis interpretações geométricas destes parâmetros.

Ideia da demonstração

A geometria de cada calça é parametrizada por $\RR^3$, mas os comprimentos das geodésicas fechadas juntadas pela colagem têm de ser iguais.

Coordenadas de Fenchel–Nielsen

Para cada uma das “bainhas” das calças precisamos de escolher dois parâmetros reais:

O comprimento da curva,
O ângulo de rotação durante a colagem.

Estas coordenadas em $\mathcal{T}_g$ chamam-se coordenadas de Fenchel–Nielsen.

Obrigado por sua atenção!

Exercício

Sejam $C_1$ e $C_2$ dois círculos disjuntos no plano, centrados no eixo $x$. Mostre que existe um único círculo $C'$ centrado no eixo $x$ cujo semicírculo superior intersecta $C_1$ e $C_2$ perpendicularmente.

Note: Durante a aula, esqueci da hipótese de que os círculos sejam disjuntos. Em terminologia hiperbólica, os desenhos feitos durante a aula mostraram retas hiperbólicas ultraparalelas.

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