Um passeio pelo mundo de geometria hiperbólica

Aula 3

Rafael Siejakowski
Programa de Verão 2022
ICMC, USP São Carlos
5–14 de janeiro de 2022

Na aula anterior…

…falamos sobre:

Plano hiperbólico $\HH^2$ com o “produto escalar” $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle_{(x,y)}^{\HH^2} = \frac{\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle}{y^2}$.
Os ângulos hiperbólicos em $\HH^2$ (iguais aos euclidianos) e distâncias hiperbólicas (diferentes das distâncias euclidianas).
Isometrias de $\HH^2$ e retas hiperbólicas.
Homogeneidade e isotropia de $\HH^2$ – “todos os pontos de $\HH^2$ são «os mesmos» e todas as direções são «as mesmas»”.
$\HH^2$ sendo um modelo de geometria não euclidiana, na qual não se satisfaz o 5º Axioma de Euclides.

https://rs-math.net/verao2022

Descrição complexa de isometrias

Tratando $\HH^2$ como o semiplano superior complexo, \[ \HH^2 = \{z\in\CC : \mathrm{Im}\,z \gt 0\}, \] podemos descrever as isometrias que preservam orientação de forma seguinte:

Um translação horizontal: $z \mapsto z+b$, $b\in\RR$.
Uma dilatação: $z \mapsto \lambda z$, $\lambda\gt 0$.
Compondo a inversão $z\mapsto 1/\bar{z}$ com a reflexão $z\mapsto -\bar{z}$, obtemos a isometria $z\mapsto -1/z$.

Transformações de Möbius

Compondo as transformações da forma $z \mapsto z+b$, $z \mapsto \lambda z$ e $z\mapsto -1/z$, obtemos todo o grupo de tranformações de Möbius: \[ \text{Möb}(\RR) = \left\{ z\mapsto\frac{az + b}{cz + d} : a,b,c,d\in\RR,\ ad-bc=1\right\}. \]

Conversamente, todos os automorfismos conformes do semiplano superior $\HH^2$ são elementos de $\text{Möb}(\RR)$.

Corolário

O grupo de isometrias hiperbólicas de $\HH^2$ que preservam a orientação é isomorfo ao grupo $\text{Möb}(\RR)$.

Fenómenos curiosos

Propriedades de geometria hiperbólica que não tem análogas em geometria euclidiana.

Dois tipos de retas paralelas

Retas ultraparalelas: retas disjuntas que ficam à distância positiva uma da outra.

Retas assintóticas: retas disjuntas à distância zero.

Triângulos ideais

Um triângulo ideal é um subconjunto de $\HH^2$ limitado por três retas assintóticas uma a outra (ciclicamente).

Propriedades de triângulos ideais

Um triângulo ideal é determinado por três “vértices ideais”, que são pontos no eixo $x$ ou $\infty$ (se tem lados verticais).
Um triângulo ideal não é compacto, mas tem área finita – igual a $\pi$.
Cada triângulo compacto (com vértices) é contido em um triângulo ideal e portanto tem área $<\pi$.
Todos os triângulos ideais são congruentes.
Topologicamente, um triângulo ideal é um triângulo sem vértices.

Tesselações por triângulos ideais

O plano hiperbólico pode ser decomposto em triângulos ideais com interiores disjuntos.

Propriedades de tesselações ideais

Existe um número infinito de possíveis tesselações por triângulos ideais.
Os vértices ideais dos triângulos ideais da tesselação formam um subconjunto denso do eixo $x$.
A tesselação apresentada consiste de “camadas”.

Relação com números racionais

Questão

Existe uma tesselação cujo conjunto de vértices ideais é $\QQ\cup\{\infty\}$?

Notemos que uma resposta afirmativa significaria que as “camadas” das tesselações por triângulos ideais correspondem a “camadas” de números racionais.

Os ogros são como cebolas! (...) Cebolas têm camadas, ogros têm camadas!
— Shrek (filme animado, 2001)

Estrutura ordinal de $\QQ$

O conjunto $\QQ$ de números racionais é linearmente ordenado pela relação “<”.
Para quaisquer dois números racionais $r_1 < r_2$ existe um número racional entre eles: \[ r_1 < r_2 \implies \exists r\in\QQ\quad r_1 < r < r_2. \]
Para um número natural $N>0$, podemos considerar o conjunto $\Farey_N$ de todas frações irredutíveis da forma \[ \frac{p}{q},\ \text{onde}\ 1\leq q \leq N\ \text{e}\ 0\leq p \leq q. \]
A sequência de Farey é o conjunto $\Farey_N$ ordenado linearmente por “<”.

Sequências de Farey

Para $N=1$, as possíveis frações são: $\frac{0}{1},\ \frac{1}{1}$.
A sequência de Farey $\Farey_1$ é: \[ \frac{0}{1} < \frac{1}{1} \]

Para $N=4$, podemos formar as seguintes frações irredutíveis em $\Farey_4$: $\frac{0}{1}$, $\frac{1}{1}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$.
A sequência de Farey $\Farey_4$ é \[ \frac{0}{1} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{1}{1} \] Como encontrar estas sequências em geral?

Elementos consecutivos em $\Farey_N$

Definição

Vamos escrever $\displaystyle\frac{a}{b}\fpair\frac{c}{d}$ se as frações irredutíveis $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ são elementos consecutivos da sequência de Farey $\Farey_N$ e $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$.

Com esta notação, cada sequência de Farey $\Farey_N$ tem a forma \[ \frac{0}{N} \fpair \frac{1}{N} \fpair \dotsb \fpair \frac{N-1}{N} \fpair \frac{N}{N}. \]

Questão

Dadas duas frações irredutíveis $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$, como podemos determinar se $\frac{a}{b}\fpair\frac{c}{d}$ para um número $N>0$?

O menor denominador duma fração entre duas frações dadas

Lema de denominadores

Sejam $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ duas frações irredutíveis tais que $bc - ad = 1$. Então, cada fração irredutível $\frac{p}{q}$ tal que \[ \frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d} \] tem de ter denominador $q\geq b+d$.

Além disso, a igualdade $q = b+d$ vale somente no caso \[ \frac{p}{q} = \frac{a+c}{b+d}. \]

Demonstração do Lema

Basta considerarmos o caso de $a, b, c, d$ positivos. Suponhamos que $bc - ad = 1$, ou seja,

\[ \begin{aligned} bc &> ad\\ ab + bc &> ab + ad\\ b(a+c) &> a(b+d)\\ \frac{a}{b} &< \frac{a+c}{b+d} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} bc &> ad\\ cd + bc &> cd + ad\\ c(b+d) &> d(a+c)\\ \frac{a+c}{b+d} &< \frac{c}{d} \end{aligned} \]

Isto confirma que a fração $\frac{a+c}{b+d}$ sempre fica estritamente entre $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$.
Ainda temos de mostrar que os denominadores de todas outras frações entre $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ são maiores de $b+d$.

Demonstração do Lema

Suponhamos agora que $\frac{p}{q}$ é uma fração irredutível tal que \[ \tfrac{a}{b} < \tfrac{p}{q} < \tfrac{a+c}{b+d}. \]

Então:

\[ \begin{aligned} 0 &\lt \frac{p}{q} - \frac{a}{b} \lt \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b}\\ 0 &\lt \frac{pb-aq}{bq} \lt \frac{1}{b(b+d)}\\ \frac{1}{bq} &\lt \frac{1}{b(b+d)} \quad \implies q > b+d. \end{aligned} \]

O caso de $\frac{a+c}{b+d} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d}$ é análogo (exercício!).

Q.E.D.

Characterização de elementos consecutivos

Proposição

Para qualquer $N\gt 0$, se $\displaystyle\frac{a}{b} \fpair \frac{c}{d}$, então $bc-ad = 1$.

Demonstração
Se $N=1$, a única possibilidade é $\frac{a}{b}=\frac{0}{1}$ e $\frac{c}{d}=\frac{1}{1}$. Então $bc - ad = 1.$

Caso geral: Prova por indução em $N$. No “passo indutivo”, aplicamos o Lema de denominadores.

Soma de Farey

Teorema

Para qualquer $N\gt 0$ temos \[ \frac{a}{b} \fpair \frac{p}{q} \fpair \frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{p}{q} = \frac{a+c}{b+d}. \]

Vamos definir a soma de Farey de duas frações irredutíveis pela fórmula \[ \frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}. \]

Corolário

Se $\frac{a}{b} \fpair \frac{c}{d}$ para $N=\max(b,d)$, então a soma de Farey $\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}$ tem o mínimo denominador entre todas as frações no intervalo $\bigl(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\bigr)$.

Tesselação de Farey

O teorema implica que podemos criar “camadas” de números racionais usando a soma de Farey $\oplus$.

Definição – tesselação de Farey

A tesselação de Farey consiste de triângulos ideais em $\HH^2$ organizadas em camadas $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \ldots$.

A camada $\mathcal{C}_1$ consiste de triângulos ideais com vértices $\{n, n+1, \infty\}$ para todo $n\in\mathbb{Z}$.

A camada $\mathcal{C}_N$ é formada a partir da camada $\mathcal{C}_{N-1}$. $\mathcal{C}_N$ consiste de triângulos ideais com vértices $\{x, x\oplus y, y\},$ onde $x\lt y$ são dois vértices consecutivos de um triângulo ideal em $\mathcal{C}_{N-1}$.

Imagem da tesselação de Farey

Aplicações da tesselação de Farey

\[ \frac{3}{1}, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \dotsc \to \pi \]

Círculos de Ford

Para cada fração irredutível $\frac{p}{q}\in\QQ$ com $q\gt0$, desenhemos um círculo $C_{p/q}$ de raio $\frac{1}{2q^2}$ centrado no ponto $\bigl(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}\bigr)$.

Esta família de círculos, chamados círculos de Ford, contém um círculo tangente ao eixo $x$ em cada ponto racional $\bigl(\frac{p}{q}, 0\bigr)$.

Proposição

Dois círculos de Ford $C_{p/q}$, $C_{p'/q'}$ são tangentes se e somente se os números $\frac{p}{q}$ e $\frac{p'}{q'}$ são consecutivos em uma sequência de Farey $\Farey_N$.

Imagem de círculos de Ford

Isto é um exemplo de um empacotamento de círculos.

Outros modelos de geometria hiperbólica

Além do semiplano superior, existem vários outros modelos de geometria hiperbólica:

Modelo de disco de Poincaré,
Modelo de disco projetivo de Klein,
Modelo de hiperbolóide,
Modelo de hemisfério superior,
…

Todos estes modelos são isométricos.

Disco de Poincaré

O plano hiperbólico é modelado pelo disco unitário aberto $\mathbb{D}^2=\{(x,y)\in\RR^2: x^2+y^2\lt1\}$.

Métrica hiperbólica: \[ \langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle^{\mathbb{D}^2}_{(x,\,y)} = \frac{4\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle}{(1-x^2-y^2)^2} \]
Este modelo é conforme: os ângulos hiperbólicos são os mesmos que os ângulos euclidianos.
Retas hiperbólicas – os diâmetros do disco e arcos de círculos perpendiculares ao seu bordo.

Trabalho de M. C. Escher

Obrigado por sua atenção!

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