Um passeio pelo mundo de geometria hiperbólica

Aula 2

Rafael Siejakowski
Programa de Verão 2022
ICMC, USP São Carlos
5–14 de janeiro de 2022

Na aula anterior…

…falamos sobre:

Geometria euclidiana, os cinco axiomas de Euclides;
Geometria analítica – um modelo da geometria euclidiana;
Classificação de isometrias euclidianas (geradas por reflexões);
Inversões em círculos

https://rs-math.net/verao2022

Propriedades de inversões

Se $C$ é o círculo de raio 1 centrado na origem $0\in\CC$, então \[ \iota_C(z) = \frac{1}{\overline{z}}. \] Em termos de números reais, a fórmula é \[ \iota_C(x,y) = \left(\frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{y}{x^2 + y^2}\right). \]
A inversão em um círculo leva {círculos e retas} a {círculos e retas}.
Inversões são transformações conformes: elas preservam ângulos entre curvas, mas não preservam as distâncias (euclidianas).

Exemplo

Conformalidade

Geometria de inversões?

Semiplano superior

Vamos denotar por $\HH^2$ o semiplano superior: \[ \HH^2 = \{(x,y)\in\RR^2 : y>0\}=\{z\in\CC : \mathrm{Im}\,z>0\}. \] Para introduzir uma geometria em $\HH^2$, vamos definir um “produto escalar” que varia de ponto a ponto.

Definição

Seja $P=(x,y)\in\HH^2$ um ponto e sejam $\mathbf{v},\mathbf{w}\in\RR^2$ quaisquer dois vetores. Definimos o produto escalar hiperbólico em $P$ pela fórmula \[ \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle^{\HH^2}_P = \frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle}{y^2}. \]

Geometria de $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle^{\HH^2}_P$

O comprimento hiperbólico dum vetor $\mathbf{v}$ baseado em um ponto $P=(x,y)\in\HH^2$ é relacionado ao seu comprimento euclidiano pela fórmula: \[ \|\mathbf{v}\|^{\HH^2}_P = \sqrt{ \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle^{\HH^2}_P } = \frac{1}{y}\sqrt{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} = \frac{\|\mathbf{v}\|}{y}. \]
O ângulo hiperbólico entre vetores é igual ao ângulo euclidiano: \[ \cos\measuredangle^{\HH^2}(\mathbf{v},\mathbf{w}) = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle^{\HH^2}_P}{ \|\mathbf{v}\|^{\HH^2}_P\cdot\|\mathbf{w}\|^{\HH^2}_P} = \frac{y\cdot y}{y^2} \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle}{ \|\mathbf{v}\|\cdot\|\mathbf{w}\|} = \cos\measuredangle(\mathbf{v},\mathbf{w}). \]

Geometria hiperbólica bidimensional

O semiplano superior $\HH^2$ é um modelo de geometria hiperbólica em dimensão 2 – um “plano hiperbólico”.

Nesta geometria, usamos as distâncias hiperbólicas e ângulos hiperbólicos.

Definição – distância hiperbólica

O comprimento hiperbólico duma curva diferenciável $\gamma : [0,1]\to\HH^2$ é definido por \[ L^{\HH^2}(\gamma) = \int_0^1 \|\gamma'(t)\|^{\HH^2}_{\gamma(t)}\,dt. \] A distância hiperbólica entre dois pontos em $\HH^2$ é o comprimento da curva mais curta que os junta.

Exemplo

Calculemos o comprimento hiperbólico do segmento vertical entre os pontos $(0,a)$ e $(0,b)$ onde $0<a<b$.

Retas hiperbólicas

Definição – retas (geodésicas) hiperbólicas

Uma reta hiperbólica é uma curva que minimiza a distância entre os seus pontos.

Segundo os nossos cálculos, a semirreta vertical $\{(0,y) : y>0\}\subset\HH^2$ (a parte positiva do eixo $y$) é uma reta hiperbólica.
A distância hiperbólica entre $(0,a)$ e $(0,b)$ é igual a $\left|\ln a - \ln b\right|$.
Para construir mais geodésicas hiperbólicas, vamos aplicar isometrias hiperbólicas ao eixo $y$.

Isometrias hiperbólicas

Proposição – isometrias de $\HH^2$

As seguintes transformações de $\HH^2$ são isometrias da geometria hiperbólica (definida pelos produto escalares $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle^{\HH^2}_P$, $P\in\HH^2$):

Translação horizontal $(x,y)\mapsto(x+a, y)$, $a\in\RR$;
Dilatação $(x,y)\mapsto(\lambda x, \lambda y)$, $\lambda>0$;
Reflexão numa semirreta vertical $\{x=c\}$.
Seja $C$ um círculo em $\RR^2$ centrado no eixo $x$. A restrição da inversão $\iota_C$ ao semiplano superior $\HH^2$ também é uma isometria da geometria hiperbólica.

Descrição de retas hiperbólicas

Como já sabemos, a parte positiva do eixo $y$ é uma reta hiperbólica. Aplicando a ela as isometrias descritas acima, obtemos mais retas:

Proposição – geodésicas no semiplano superior

As retas (geodésicas) hiperbólicas no semiplano superior $\HH^2$ são precisamente:

As semirretas verticais $\{x=c\}$;
Os semicírculos superiores dos círculos centrados no eixo $x$.

Como consequência disso, para quaisquer dois pontos $P, Q\in\HH^2$ existe uma única reta hiperbólica que os junta.

Retas hiperbólicas

Homogeneidade e isotropia

O semiplano superior $\HH^2$ é homogêneo e isotrópico: “todos os pontos são os mesmos e todas as direções são as mesmas”.

Teorema

Homogeneidade: Para quaisquer pontos $P,Q\in\HH^2$, existe uma isometria hiperbólica $F$ tal que $F(P)=Q$.
Isotropia: Para quaisquer dois vetores $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in\RR^2$, considerados como vetores tangentes a $\HH^2$ em um ponto $P\in\HH^2$, que satisfazem $\|\mathbf{v}\|_P^{\HH^2}=\|\mathbf{w}\|_P^{\HH^2}$, existe uma isometria $F$ tal que $F(P)=P$ e $DF_P(\mathbf{v})=\mathbf{w}$.

Geometria não-euclidiana

O plano hiperbólico $\HH^2$ é um modelo de geometria não euclidiana – ele satisfaz os primeiros quatro axiomas de Euclides, mas não satisfaz o quinto.

Dados dois pontos, existe um segmento reto que os junta.
Dado um segmento (finito) reto, existe uma única maneira de estendê-lo sem limites.
Dado um ponto, existe um único círculo nele centrado com o raio dado.
Todos os ângulos retos são iguais.

Falsidade do 5º Axioma

O Postulado das Paralelas (o 5º axioma de Euclides) não vale em $\HH^2$.

Obrigado por sua atenção!

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