$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\CC{\mathbb{C}} \definecolor{darkred}{HTML}{8f0000} $

Topologia e geometria
de 3-variedades

Aula 4

André Salles de Carvalho e Rafał Marian Siejakowski
33º CBM, IMPA, Rio de Janeiro, 2 a 6 de agosto de 2021

Geometria euclidiana


Euclides

Desde o início da sua história, geometria tem lidado com “formas geométricas” em termos de ângulos e distâncias.

Saber como medir ângulos e distâncias permite definir áreas, volumes, etc.


René Descartes

As noções costumeiras de ângulo e distância em $\RR^n$ são determinadas pelo produto escalar de vetores: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle},\quad \cos\measuredangle(\mathbf{v},\mathbf{w}) = \frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle}{\|\mathbf{v}\|\cdot\|\mathbf{w}\|}. \]

Comprimento de curvas em $\RR^n$

Em particular, se $\gamma:[0,1]\to\RR^n$ é uma curva diferenciável, \[ t\mapsto\bigl(\gamma_1(t), \gamma_2(t),\dotsc,\gamma_n(t)\bigr), \] o comprimento de $\gamma$ pode ser calculado como \[ \text{comprimento}(\gamma) = \int_0^1 \|{\color{darkred}\gamma'(t)}\|\,dt = \int_0^1 \sqrt{\langle\gamma'(t),\gamma'(t)\rangle}\,dt, \] onde ${\color{darkred}\gamma'(t)} = \bigl(\gamma'_1(t), \gamma'_2(t),\dotsc,\gamma'_n(t)\bigr)$ é o vetor tangente a $\gamma$ em $\gamma(t)$.

Isometrias

  • Informalmente, isometrias são transformações que preservam “toda a geometria”.
  • Uma transformação diferenciável $\psi:\RR^n\to\RR^n$ é uma isometria se, para cada ponto $p\in\RR^n$ e quaisquer vetores $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ baseados em $p$, temos \[ \langle D\psi(\mathbf{v}), D\psi(\mathbf{w})\rangle = \langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle. \]
Teorema (classificação de isometrias euclidianas)
Cada isometria $\psi:\RR^n\to\RR^n$ tem a forma \[ \psi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}+\mathbf{b} \] para uma única matriz ortogonal $A\in O(n)$ e um único vetor $b\in\RR^n$.

Generalização da geometria clássica

Geometria riemanniana – ideia geral

Suponhamos que queremos equipar uma variedade suave $M$ com “geometria”.

Para cada $p\in M$, denotamos por $T_p M$ o espaço tangente a $M$ no ponto $p$.

Para definir as noções de comprimento e de ângulo entre vetores tangentes a $M$, precisamos de um “produto escalar” no espaço $T_pM$ em cada ponto $p\in M$.

A métrica riemanniana é, essencialmente, uma escolha de produto escalar não degenerado que varia suavemente de ponto a ponto.

Métrica riemanniana

Definição (métrica riemanniana)
Uma métrica riemanniana na variedade $M$ é uma escolha de uma forma bilinear simétrica $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle_p$ em cada espaço tangente $T_pM$. A família de formas $\{\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle_p\}_{p\in M}$ tem de satisfazer as seguintes propriedades:
  • Para cada $p$ e cada vetor tangente $\mathbf{v}$ em $p$, temos \[ \begin{aligned} \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle_p &\geq 0,\\ \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle_p & =0 \implies \mathbf{v}=0. \end{aligned} \]
  • O produto escalar $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle_p$ depende suavemente do ponto $p$.

Uma variedade riemanniana é uma variedade suave equipada com uma métrica riemanniana.

Comprimento de curvas

Dada uma curva diferenciável $\gamma:[0,1]\to M$ na variedade riemanniana $M$, o comprimento de $\gamma$ é definido por: \[ \text{comprimento}(\gamma) = \int_0^1 \sqrt{\langle\gamma'(t),\gamma'(t)\rangle_{\gamma(t)}}\,dt. \]

Consequentemente, podemos definir distância entre pontos em $M$ como o comprimento do caminho mais curto entre eles.

e resolva o exercício:

Suponha $M=\{(x,t)\in\RR^2 : t > 0\}$ tem a métrica riemanniana dada por \[ \left\langle\begin{bmatrix} u_1\\ u_2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\end{bmatrix}\right\rangle^M_{(x,t)} = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{t^2}. \] Calcule o comprimento, nessa métrica riemanniana, do segmento vertical entre os pontos $(0,a)$ e $(0,b)$, onde $b > a > 0$.

Isometrias de geometria riemanniana

Analogamente ao caso de $\RR^n$, isometrias de variedades riemannianas são difeomorfismos que preservam a métrica riemanniana.

Em particular, $\psi: M\to M$ é uma isometria de $M$ se, para cada ponto $p\in M$ e quaisquer vetores tangentes $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in T_pM$, vale a igualdade \[ \langle D\psi(\mathbf{v}), D\psi(\mathbf{w})\rangle_{\psi(p)} = \langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle_p. \]

Exemplo: a 3-esfera

A métrica esférica em $S^3\subset\RR^4$ é definida como a restrição do produto escalar euclidiano em $\RR^4$ aos espaços tangentes à 3-esfera.

O grupo de isometrias da 3-esfera é $O(4)$.

e regresse ao exercício:

Voltando ao exemplo de $M=\{(x,t)\in\RR^2 : t > 0\}$, considere a inversão no círculo unitário, \[ \iota(x,t) = \frac{1}{x^2 + t^2}(x,t), \quad \iota:M\to M. \] Mostre que $\iota$ é uma isometria, ou seja, que \[ \left\langle D\iota_{(x,t)}(\mathbf{u}), D\iota_{(x,t)}(\mathbf{v})\right\rangle_{\iota(x,t)} = \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle_{(x,t)}. \] para quaisquer vetores $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$.

Geodésicas

Curvas geodésicas desempenham o papel de “linhas retas” numa variedade riemanniana $M$.

Mais formalmente, curvas geodésicas localmente minimizam a distância entre pontos em $M$. Em outras palavras, dados dois pontos $p,q\in M$ suficientemente pertos um do outro, a distância entre $p$ e $q$ é o comprimento de uma geodésica entre eles.

Para cada ponto $p\in M$ e cada vetor tangente $\mathbf{v}\in T_pM$ existe uma única curva geodésica que passa por $p$ na direção de $\mathbf{v}$.

Por exemplo, as geodésicas em $S^3$ são os círculos máximos.

Geometrias homogêneas e isotrópicas

A métrica esférica (como a métrica euclidiana em $\RR^n$) tem muita simetria: “todos os pontos são os mesmos” e “todas as direções são as mesmas”.

Definição (variedades homogêneas e isotrópicas)

Uma variedade riemanniana $M$ é chamada homogênea se, para quaisquer pontos $p,q\in M$ existem vizinhanças $U_p$, $U_q$ e uma isometria $\psi:U_p\to U_q$ que faz $\psi(p)=q$.

Se, além disso, para cada par de vetores tangentes $\mathbf{v},\mathbf{w}\in T_pM$ com $\|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{w}\|=1$ existe uma isometria $\psi$ que fixa $p$ e satisfaz $D\psi(\mathbf{v})=\mathbf{w}$, dizemos que $M$ é uma variedade isotrópica.

Três geometrias tridimensionais

A menos de normalização, existem três geometrias homogenêas e isotrópicas em dimensão 3.

Geometria: esférica euclidiana hiperbólica
espaço-modelo: $S^3$ $\RR^3$ $H^3$
curvaturas seccionais: $\equiv +1$ $\equiv 0$ $\equiv -1$
triângulos:
soma de ângulos em um triângulo: $\alpha+\beta+\gamma > \pi$ $\alpha+\beta+\gamma = \pi$ $\alpha+\beta+\gamma < \pi$
área de um triângulo: $(\alpha+\beta+\gamma)-\pi$ não determinada pelos ângulos $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$

Variedades geométricas

Uma variedade geométrica é uma variedade riemanniana cuja geometria é localmente modelada por uma das geometrias “bonitas”. Em dimensão 3, falamos de variedades esféricas, euclidianas e hiperbólicas.

Definição (variedade esférica/euclidiana/hiperbólica)

Seja $X\in\{S^3, \RR^3, H^3\}$ um espaço-modelo. Uma variedade geométrica modelada por $X$ é uma 3-variedade riemanniana $M$ na qual cada ponto $p$ tem uma vizinhança $U$ equipada com uma isometria $\varphi:U\to\varphi(U)\subset X$. Para duas cartas coordenadas $\varphi:U\to X$, $\psi:V\to X$ satisfazendo $U\cap V\neq0$, a troca de coordenadas $\psi\circ\varphi^{-1}$ tem de ser uma restrição de uma isometria de $X$.

Colagens geométricas

Uma maneira concreta de construir variedades geométricas é por colagem de poliedros geométricos.

Um poliedro geométrico em uma região compacta em $X$ limitada por um número finito de “planos” (superfícies totalmente geodésicas); $X\in\{S^3,\RR^3,H^3\}$.

Supomos que pares de faces dos poliedros geométricos são colados por isometrias que preservam orientação.

A soma de ângulos diedrais nas arestas coladas deve ser sempre igual a $2\pi$.

Exemplo: os 3-toros

O 3-toro $T^3$ pode ser equipado com geometria euclidiana induzida pela colagem de um cubo unitário em $\RR^3$.

Essa geometria não é única: colagens de outros paralelepípedos definem variedades difeomorfas mas não necessariamente isométricas.

Espaço dodecaédrico de Poincaré

O espaço dodecaédrico de Poincaré é a 3-variedade compacta $M$ obtida por colagem das faces opostas de um dodecaedro por meio de “movimentos de parafuso” de ângulo $\frac{\pi}{5}$.

Alternativamente, $M = S^3/G$ onde $G$ é o grupo binário icosaedrico, com 120 elementos.

Geometrização do espaço dodecaédrico de Poincaré

A colagem junta as arestas do dodecaedro em grupos de três.

O ângulo diedral em um dodecaedro regular euclidiano é igual a \[ \alpha\approx 116,565^\circ < 120^\circ = \frac{2\pi}{3}. \]

Porém, existe um dodecaedro regular esférico (um subconjunto de $S^3$ limitado por 12 pentágonos (esféricos) de 2-esferas máximas) com ângulo diedral $\alpha = 120^\circ$. A colagem desse dodecaedro define a geometria esférica no espaço dodecaédrico de Poincaré.

Geometria hiperbólica

Modelos de geometria hiperbólica

Ao contrário da 3-esfera (e das esferas em geral), o 3-espaço hiperbólico $H^3$ não pode ser realizado como uma subvariedade riemanniana de qualquer $\RR^n.$

Portanto, usam-se vários “modelos” de geometria hiperbólica:

  • Modelo do hiperbolóide
  • Disco de Poincaré – veja o livro-texto
  • Semiespaço superior – a seguir
  • Modelo projetivo de Klein

Plano hiperbólico

Para construir o plano hiperbólico $H^2$, vamos usar o modelo do semiplano superior.

Definição (modelo do semiplano superior)
O semiplano superior é $H^2 = \{(x,t)\in\RR^2: t > 0\}$ com a métrica riemanniana hiperbólica $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle^{H^2}$ definida por: \[ \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle^{H^2}_{(x,t)} = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle^{\RR^2}}{t^2}. \]

Como consequência da definição, as geodésicas no semiplano superior são semirretas verticais $x=\mathrm{const}$ e semicírculos centrados na linha horizontal $t=0$.

Semiplano superior

3-espaço hiperbólico

Analogamente, o 3-espaço hiperbólico $H^3$ pode ser construído como o semiespaço superior, \[ H^3 = \{(x,y,t)\in\RR^3 : t > 0\},\quad \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle^{H^3}_{(x,y,t)} = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle^{\RR^3}}{t^2}. \]

Em particular, cada semiplano vertical da forma \[ \{(x,y,t)\in\RR^3 : t > 0\ \text{e}\ Ax+By=C\} \] é isométrico ao plano hiperbólico $H^2$.

Dicionário hiperbólico

Língua euclidiana Língua hiperbólica (dialeto do semiespaço superior)
espaço $\RR^3$ $H^3$ (semiespaço superior)
produto escalar métrica hiperbólica $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle^{H^3}$
ponto ponto
reta semicírculo perpendicular ao plano $t=0$ e nele centrado ou um raio vertical $(x,y)=\mathrm{const}$.
plano hemiesfério centrado no plano $t=0$ ou um semiplano vertical $Ax+By=C$.

Geometria hiperbólica tridimensional

Colagens hiperbólicas

Um poliedro hiperbólico é uma região de $H^3$ limitada por um número finito de pedaços de planos hiperbólicos.

As faces de um dodecaedro podem ser coladas por “movimentos de parafuso” de ângulo $\frac{3}{5}\pi.$ Isso identifica as arestas em grupos de cinco.

Para geometrizar essa colagem, precisamos de um dodecaedro de ângulo diedral $\alpha=\frac{2}{5}\pi=72^\circ.$ A variedade hiperbólica resultante é chamada o espaço dodecaédrico de Seifert-Weber.

Obrigado por sua atenção!