$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\CC{\mathbb{C}} \def\HH{\mathbb{H}} \def\bfx{\mathbf{x}} \def\qi{\mathbf{i}} \def\qj{\mathbf{j}} \def\qk{\mathbf{k}} \def\RP{\RR\mathrm{P}} $

Topologia e geometria
de 3-variedades

Aula 3

André Salles de Carvalho e Rafał Marian Siejakowski
33º CBM, IMPA, Rio de Janeiro, 2 a 6 de agosto de 2021

Variedades suaves – ideia geral

  • Uma variedade suave (ou variedade diferenciável) é um espaço topológico $M$ no qual faz sentido falar de derivação de funções $f:M\to\RR$.
  • Cada região suficientemente pequena em uma $n$-variedade suave $M$ é parametrizada bijetivamente por $n$ parâmetros reais.
  • Esses parâmetros reais sempre pertencem a um subconjunto aberto de $\RR^n$: uma $n$-variedade é “$n$-dimensional”.

Variedades suaves – definição

Definição

O espaço topológico $M$ é uma n-variedade suave se cada ponto $p\in M$ tem uma vizinhança aberta $U\ni p$ equipada com uma carta coordenada $\varphi:U\to\RR^n$ que é um homeomorfismo sobre sua imagem. Além disso, supomos que as cartas coordenadas formam um atlas diferenciável.

As cartas coordenadas formam um atlas diferenciável se, para quaisquer cartas \[ \varphi:U\to\RR^n\quad\text{e}\quad\psi:V\to \RR^n \] tais que $U\cap V\neq\varnothing$, a composição $\psi\circ\varphi^{-1}$ é diferenciável e tem uma inversa diferenciável.

Atlas diferenciável

Derivação em variedades

  • Se $M$ é uma variedade suave e se $f : M\to\RR$, dizemos que $f$ é diferenciável se $f\circ\varphi^{-1}$ é diferenciável para cada carta coordenada $\varphi$.
  • De modo análogo, podemos definir transformações diferenciáveis entre duas variedades.
  • Variedades suaves constituem um exemplo de $(X,\mathcal{G})$-variedades, discutidas em detalhe no livro-texto do curso.

Exemplos de variedades suaves

  • O espaço $\RR^n$ é trivialmente uma $n$-variedade para cada $n\in\mathbb{N}$.
  • As superfícies orientáveis:
  • A n-esfera $S^n$ é uma $n$-variedade suave para cada $n$: \[ S^n = \{\bfx\in\RR^{n+1} : \|\bfx\|=1\}. \]
  • Se $M_1$ e $M_2$ são variedades suaves, então o produto cartesiano $M_1\times M_2$ também é uma variedade suave. Isso inclui o 2-toro $T^2 = S^1 \times S^1$ e o 3-toro $T^3 = S^1\times S^1\times S^1$.

Alguns não-exemplos

  • O seguinte subconjunto do plano:
  • O bordo do cubo unitário $[0,1]^3\subset\RR^3$ consiste de 6 quadrados. Cada desses quadrados pode ser identificado com um quadrado unitário em $\RR^2$.
    suavização
    (mas veja também a discussão no livro texto)
  • Para $n\geq 4$, existem $n$-variedades topológicas que não admitem nenhuma estrutura suave.

Construções de variedades topológicas

“Antes” de ser uma variedade suave, $M$ precisa ser uma variedade topológica. A maneira mais direta de construir tais variedades é por colagens de pedaços mais simples.

A ideia geral de colagens inclui as construções clássicas de 3-variedades como:

  • partições de Heegaard
  • triangulações (complexos simpliciais e quasi-simpliciais)
  • colagens de poliedros ← discutidas a seguir
  • somas conexas
  • cirurgia de Dehn

Ideia geral de colagens

  1. Começamos com pedaços “simples”;
  2. Colamos os pedaços por identificações nos seus bordos – o resultado da colagem é um espaço topológico quociente;
  3. Certificamo-nos de que o resultado da colagem é uma variedade topológica;
  4. Para que a variedade final tenha uma estrutura adicional, os pedaços devem ter essa estrutura e as colagens devem preservá-la.

Por exemplo, colagens feitas por meio de difeomorfismos induzem a estrutura de uma variedade suave.

Colagens de polígonos

Exercício 3.1.2 do livro-texto do curso:
Qual espaço resulta da colagem dos lados do hexágono conforme as instruções mostradas à direita?

Colagens de poliedros

Uma colagem de um poliedro compacto $\mathcal{P}$ é um agrupamento das faces de $\mathcal{P}$ em pares, juntamente com a escolha dum homeomorfismo que identifica as duas faces que formam cada par.
O resultado da colagem é o quociente de $\mathcal{P}$ por essas identificações em $\partial\mathcal{P}$.

Por exemplo, podemos colar faces opostas de um cubo por translações.

O resultado desta colagem é uma 3-variedade, chamada o 3-toro e denotada $T^3$.

Já vimos (na primeira aula) um vídeo mostrando como é voar dentro do 3-toro.

Nem toda colagem produz uma 3-variedade

Às vezes, colagens de poliedros não definem 3-variedades.

Exemplo: o espaço quociente obtido do octaedro mostrado por colagem de faces da mesma cor (por rotações).

No livro-texto do curso, discutimos critérios que permitem decidir se uma colagem de um poliedro define uma 3-variedade ou não.

Vizinhanças de vértices

Em uma 3-variedade, cada ponto tem uma vizinhança homeomorfa a uma bola em $\RR^3$.

Mas aqui, o ponto que vem do vértice superior do octaedro não tem essa propriedade. O mesmo problema acontece no vértice inferior.

Quocientes por ações de grupos

Grupos agindo em espaços

Uma forma de fazer com que tudo o que discutimos “aconteça ao mesmo tempo”

(identificações de faces de poliedros, variedade topológica, diferenciabilidade, e mais)

é tomarmos quocientes de bons espaços por ações de grupos discretos.

A definição formal e uma discussão aprofundada estão nas seções 2.4.2 e 3.3.4 da notas.

Nossos velhos amigos – os toros

O toro bidimensional $T^2$ pode ser obtido do plano $\RR^2$ como quociente pela ação do subgrupo $\mathbb{Z}^2$.

Analogamente, o 3-toro é o quociente $T^3 = \RR^3/\mathbb{Z}^3$.

Ambos os toros herdam a geometria euclidiana do plano $\RR^2$ e do espaço $\RR^3$, dos quais são quocientes.

Domínio fundamental para ação de grupo

Ações topológicas correspondem a colagens topológicas e
ações geométricas – a colagens geométricas.

Quociente por ação ( livre, cocompacta,
propriamente descontínua
) de $G\ \longleftrightarrow\ $ Colagem de um poliedro $\mathcal{P}$

$\mathcal{P}$ pode ser construído como um domínio fundamental da $G$-ação;
$G$ é gerado pelas transformações que colam as faces de $\mathcal{P}$.

Exemplo: O cubo unitário é um domínio fundamental para a ação de $\mathbb{Z}^3$ em $\RR^3$ que define o 3-toro.

Grupos e a 3-esfera

Quatérnios – ideia geral

Os números complexos são pares de números reais: \[ a, b\in\RR\ \leadsto z = a+b\qi\in\CC, \] onde $\qi\not\in\RR$ satisfaz $\qi^2 = -1$ (extensão quadrática do corpo $\RR$).

O corpo $\CC$ é algebricamente fechado, mas pode ser “extendido” a um anel não comutativo $\HH$ de modo análogo: \[ a+b\qi,\; c+d\qi \in\CC \leadsto\mathbf{q} = (a+b\qi) + (c+d\qi)\qj\in\HH, \] onde $\qj\not\in\CC$ e $\qj^2 = -1$. Definindo $\qk:=\qi\qj$, temos \[ \mathbf{q} = (a+b\qi) + (c+d\qi)\qj = a + b\qi + c\qj + d\qk,\quad a,b,c,d\in\RR. \]

A álgebra de quatérnios

Definição (🇧🇷quatérnios / 🇵🇹quaterniões)
Um quatérnio é uma expressão da forma \[ \mathbf{q} = a + b\qi + c\qj + d\qk, \quad a,b,c,d\in\RR. \] O conjunto de quatérnios é denotado $\HH$.
  • Adição de quatérnios: por componentes (como vetores em $\RR^4$).
  • Quatérnios formam uma álgebra real com a multiplicação determinada por $\qi^2=\qj^2=\qk^2=\qi\qj\qk=-1$.

\[ \begin{aligned} (a+b\qi+c\qj+d\qk)(a'+b'\qi+c'\qj+d'\qk) &= aa' - bb' - cc' - dd' \\ &+(ab' + a'b + cd' - c'd)\qi \\ &+(ac' + a'c + b'd - bd')\qj \\ &+(ad' + a'd + bc' - b'c)\qk \end{aligned} \]

Propriedades de quatérnios

  • A multiplicação de quatérnios é associativa, mas não comutativa.
  • Com as operações de adição e de multiplicação de quatérnios, $\HH$ forma um anel não comutativo.
  • Ao mesmo tempo, $\HH$ é um espaço vetorial real: \[ \HH\ni a+b\qi+c\qj+d\qk \longleftrightarrow (a,b,c,d)\in\RR^4. \]
  • Por isso, $\HH$ é uma álgebra real não comutativa de dimensão 4.
  • A álgebra de quatérnios é isomorfa a uma álgebra 4-dimensional de matrizes complexas $2\times 2$: \[ a+b\qi+c\qj+d\qk \longleftrightarrow \begin{bmatrix} a+bi & -c-di\\ c-di & a-bi \end{bmatrix}. \]

Norma de quatérnios

  • A norma de um quatérnio é a mesma que a norma de um vetor em $\RR^4$: \[ \|a + b\qi + c\qj +d\qk\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}. \]
  • A norma de quatérnios é multiplicativa: $\|\mathbf{q_1 q_2}\| = \|\mathbf{q_1}\|\cdot\|\mathbf{q_2}\|.$
  • Cada quatérnio não zero tem um inverso dado pela equação: \[ (a + b\qi + c\qj +d\qk)^{-1} = \|a + b\qi + c\qj +d\qk\|^{-2} (a - b\qi - c\qj - d\qk). \]
  • A 3-esfera $S^3 = \{\mathbf{q}\in\HH : \|\mathbf{q}\|=1\}$ é um grupo multiplicativo.

Quatérnios unitários

O grupo de quatérnios unitários: $S^3 = \{\mathbf{q}\in\HH : \|\mathbf{q}\|=1\}$.

Em termos de matrizes, temos \[ \left. \begin{array}{r} \mathbf{q} = a + b\qi + c\qj + d\qk\\ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1 \end{array} \right\} \longleftrightarrow \begin{bmatrix} a+bi & -c-di\\ c-di & a-bi \end{bmatrix} \in SU(2). \]

Teorema (Teorema 2.3.4 nas notas)
A identificação acima é um isomorfismo de grupos $S^3 \cong SU(2)$.

3-esfera como grupo de Lie

  • A identificação de $S^3\subset\RR^4\cong\HH$ com quatérnios unitários mostra que a 3-esfera é simultaneamente uma variedade suave e um grupo.
  • Essas duas estruturas dão-se bem uma com outra, ou seja, $S^3$ é um grupo de Lie.
  • Em particular, a esfera $S^3$ age em si mesma por isometrias esféricas que preservam orientação (elementos de $SO(4)$) de duas maneiras diferentes: à direita e à esquerda.

Quocientes de $S^3$ por subgrupos finitos

Analogamente, se $G$ é um subgrupo finito de $S^3$, então o espaço quociente $M = S^3/G$ é uma 3-variedade.

$M$ é o espaço de órbitas da ação de $G$ sobre a 3-esfera.

Como a ação de $G$ na 3-esfera é por isometrias, $M$ herda a geometria local da 3-esfera. Geometria esférica é discutida em detalhe no Capítulo 4 das notas do curso.

Exemplos de quocientes

  1. Um exemplo simples é o grupo multiplicativo $G=\{1,-1\} < S^3$. A variedade $S^3/G$ é o resultado da identificação de cada ponto $\bfx\in S^3\subset\RR^4$ ao ponto antípoda $-\bfx$, ou seja, o espaço projetivo tridimensional $\RP^3$.
  2. Seja $G = \{1,\qi,-1,-\qi\} < S^3$. A variedade $S^3/G$ é chamada o espaço lenticular L(4,1).

Obrigado por sua atenção!