Variedades aparecem naturalmente em muitas áreas de matemática, ciências e engenharia:
Leonhard Euler (1707–1783) observou que, em cada poliedro compacto e convexo, vale a igualdade \[ V - A + F = 2, \] onde $V$ é o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces do poliedro.
Carl F. Gauss (1777–1855) provou, em 1828, o seu Theorema Egregium mostrando que a curvatura de uma superfície depende apenas de sua geometria intrínseca.
Ambas as descobertas são exemplos de propriedades que não haviam sido completamente entendidas à época e que só viriam a sê-lo mais de 100 anos mais tarde.
Lobachevsky (1792–1856) e Bolyai (1802–1860), independentemente, e mais ou menos ao mesmo tempo que Gauss, descobriram a geometria hiperbólica – uma geometria tão bela quanto todas as outras (ou talvez ainda mais), mas que não satisfaz o Axioma de Paralelas de Euclides.
Muitos outros matemáticos estudaram objetos que seriam, mais tarde, incluídos na definição de variedade:
Bernhard Riemann (1826–1866) foi provavelmente o primeiro matemático a considerar as quantidades multiplamente extensas – generalizações $n$-dimensionais de superfícies.
Ele usou a palavra alemã Mannigfaltigkeit (variedade) para descrever o conjunto de valores de uma variável sujeita a restrições.
Henri Poincaré (1854–1912) introduziu, no artigo “Analysis Situs” (1895), a noção de espaços não homeomorfos e discutiu a ideia de colar vários gráficos de funções para criar “cadeias de variedades” (chaînes des variétés).
Hoje em dia, esse conceito é conhecido pelo nome atlas de cartas coordenadas.
Hermann Weyl (1885–1955) deu uma definição intrínseca de variedades diferenciáveis no seu curso sobre superfícies de Riemann (anos 1911–1912).
Hassler Whitney (1907–1989) formulou a definição completa de variedades. Essa é a definição moderna.
Dennis Sullivan disse certa vez: “Hassler Whitney tem a elegância de Milnor, a precisão de Mather e a intuição geométrica de Thurston.”
A menos de homeomorfismo, existem poucas variedades em dimensão $n=1$:
Na verdade, as únicas 1-variedades conexas são: $S^1$ (compacta) e $\RR$ (não compacta).
Existe um número infinito de 2-variedades compactas, conexas e orientáveis:
A característica de Euler $\chi$ é um invariante topológico que pode ser usado para classificar tais superfícies: duas superfícies (cco) $S$ e $S'$ são homeomorfas $\Leftrightarrow\ \chi(S)=\chi(S')$.
Nem os físicos nem os cosmólogos sabem qual é a topologia do nosso Universo.
Apesar disso, nós matemáticos podemos fazer a seguinte pergunta:
Esses filminhos foram gravados usando o programa “Curved Spaces” criado por Jeff Weeks e disponível, grátis, em www.geometrygames.org.
Recomendamos também o excelente livro “The Shape of Space”, do mesmo autor.
Um complexo celular $n$-dimensional ou $n$-complexo pode ser definido por indução em $n$:
Uma 1-célula é um segmento aberto;
uma 2-célula é um disco 2-dimensional aberto; etc.
Um 0-complexo é uma união disjunta de pontos.
Adicionamos segmentos, colando seus extremos aos pontos do 0-complexo. O resultado é um 1-complexo (também conhecido como um grafo).
Para obter um 2-complexo, adicionamos 2-células (discos), colando seus bordos (que são círculos) a um 1-complexo.
E assim por diante…
Se $X$ é um complexo celular com um número finito de células, definimos:
A 2-esfera é feita colando-se uma 2-célula a um ponto e, como vimos, $\chi(S^2)=1+1=2$.
A 3-esfera é obtida de forma análoga, colando uma 3-célula a um ponto. Sua caracaterística de Euler é $\chi(S^3)=1-1=0$.
Demonstração:
Fixemos uma decomposição celular finita $X$ de $M$.
Para cada célula $k$-dimensional em $X$ existe uma célula dual de dimensão $n-k$.
Essas células duais formam a decomposição celular dual $X'$.
Se $k$ é par então $n-k$ é ímpar e vice versa.